求问f(x)=1表示的是恒等于1的函数,还是等于1的一个方程?

Question

求问f(x)=1表示的是恒等于1的函数,还是等于1的一个方程?

Answer 1

xy+6siny=1是一个二元方程,确定了一个一元函数y=f(x)
一般y=f(x)称为函数,硬要说成方程,要规范地写成　y-f(x)=0.
习惯上也把f(x)=(e^x)sin(2x),f(x)=ax^2+bx+c,f(x)=kx+h,f(x)=1,……等都称为函数.
如果把他们称为方程时,一般都指明“方程”二字.
譬如说确定方程f(x)=(e^x)sin(2x)解的个数,那么说明的意思就与上面完全不一样,上面是指某个范围内一切x对应的f(x)都是(e^x)sin(2x),而后者恰恰相反,某个范围内只有几个x对应的f(x)才是(e^x)sin(2x).
“f(5x+6)-f(8x+7)=1”这是你随便写的一个式子,与f(1＋sinx)=1一样,这里如果f(u)是已知函数,那么这里是关于未知数x的方程,称为数值方程,绝对不能在方程两边对x求导.
如果f(u)是未知函数,那么这里是关于未知函数f的方程,称为函数方程,微分方程就是含有未知函数导数的函数方程.
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例如f(π-x)-2f(π+x)=1+3sinx,如果f(u)是已知函数,那么这里是关于未知数x的数值方程.那么绝对不能在方程两边对x求导.
如果f(u)是未知函数,那么这里是关于未知函数f的函数方程.
通过函数方程与自变量记号无关可以得到
f(π+x)-2f(π-x)=1+3sin(-x),
解得：f(π+x)=-1-sinx,即f(x)=-1+sinx.
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一般说来,f(x)=ax^2+bx+c,f(x)=kx+h,f(x)=1,……都被看作函数的定义式.
而当f(x)是另有定义的话,f(x)=ax^2+bx+c,f(x)=kx+h,f(x)=1,……都是关于未知数x的方程,此时方程仅在“个别点处”成立,根本没有在等式两边求导的讲法.