求函数y=1/2cos^2x+根号3/2sinxcosx+1最大值及取最大值时X的值集合

Question

求函数y=1/2cos^2x+根号3/2 sinxcosx+1最大值及取最大值时X的值集合

Answer 1

1/2=sin(π/6),√3/2=cos(π/6),因此可对表达式化简：
y=(1/2)(cosx)^2+(√3/2)sinxcosx+1
=cosx[sin(π/6)cosx+cos(π/6)sinx]+1
=sin(x+π/6)cosx+1 ………………………………………………………（1）
sin(2x+π/6)=sin(x+π/6+x)=sin(x+π/6)cosx+cos(x+π/6)sinx ………（2）
1/2=sin(π/6)=sin(x+π/6-x)=sin(x+π/6)cosx-cos(x+π/6)sinx ………（3）
（2）+（3）可得：sin(x+π/6)cosx=[sin(2x+π/6)]/2+1/4 ……………（4）
把（4）代入（1）继续化简：
sin(x+π/6)cosx+1
=[sin(2x+π/6)]/2+1/4+1
=[sin(2x+π/6)]/2+5/4
因此：y=[sin(2x+π/6)]/2+5/4
y取最大值时,sin(2x+π/6)=1,即2x+π/6=2kπ+π/2,求得x=kπ+π/6（k∈Z）,
因此所求x的集合为：{x|x=kπ+π/6（k∈Z）}