已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

Question

已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

Answer 1

(1)见解析   (2)

(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO= ,
所以AC ² =AO ² +CO ² ,所以AO⊥CO.
又AO⊥BD,BD∩CO=O,
所以AO⊥平面BCD.
(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,

则有O(0,0,0),D(0, ,0),
C( ,0,0),B(0,- ,0).
设A(x ₀ ,0,z ₀ )(x ₀ <0),
则 =(x ₀ ,0,z ₀ ), =(0, ,0).
平面ABD的一个法向量为n=(z ₀ ,0,-x ₀ ).
平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°,
所以|cos<m,n>|=|cos120°|= ,得 =3 .
因为OA= ,所以 = .解得x ₀ =- ,z ₀ = .所以A(- ,0, ).
平面ABC的一个法向量为l=(1,-1, ).
设二面角A-BC-D的平面角为θ,
所以cosθ=|cos<l,m>|=| |= .
所以tanθ= .
所以二面角A-BC-D的正切值为 .
方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO= ,所以AC= .
如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.
又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.
在△AOH中,得AH= ,OH= ,所以CH=CO+OH= + = .
在Rt△CHK中,HK= = ,
在Rt△AHK中,tan∠AKH= = = .
所以二面角A-BC-D的正切值为 .