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如图,在直棱柱ABO-A'B'O'中,OO'=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A'B'的中点,P是侧棱BB'上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
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如图,在直棱柱ABO-A'B'O'中,OO'=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D是线段A'B'的中点,P是侧棱BB'上的一点,若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

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▼优质解答
答案和解析
【分析】如图,以O点为原点建立空间直角坐标系.求出B,D.设P(3,0,z),推出
,
.利用
.
.说明∠POB是OP与底面AOB所成的角,然后求出,
∴




∴

如图,以O点为原点建立空间直角坐标系.

由题意,有B(3,0,0),
.
设P(3,0,z),则
,
.
∵BD⊥OP,
∴
,解得
.
∵BB′⊥平面AOB,
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角,
∴
,
∴
.

由题意,有B(3,0,0),

设P(3,0,z),则


∵BD⊥OP,
∴


∵BB′⊥平面AOB,
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角,
∴

∴

【点评】本题是基础题,利用空间直角坐标系通过向量的计算,考查直线与平面所成角的求法,空间想象能力,计算能力,常考题型.
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