如图，已知直三棱柱，∠ACB=90°，AC=BC=2，．E、F分别是棱、AB中点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求四棱锥的体积；(Ⅲ)判断直线CF和平面的位置关系，并加以证明．

Question

如图，已知直三棱柱，∠ACB=90°，AC=BC=2，．E、F分别是棱、AB中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求四棱锥的体积；
(Ⅲ)判断直线CF和平面的位置关系，并加以证明．

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Answer 1

【分析】(1)要证CF⊥BB₁，只需证明BB₁⊥平面ABC；由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱可以得出；
(2)要求四棱锥A-ECBB₁的体积，需先求底面ECBB₁(直角梯形)的面积；四棱锥的高是AC(需证明)，再由体积公式可得；
(3)判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，由CF⊄平面AEB₁，可猜想CF∥平面AEB₁；要证明线面平行，需证线线平行即可．

如图，

(Ⅰ)证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC.
又∵CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB_1；
(Ⅱ)∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC．
又∵AC⊂平面ABC，
∴AC⊥BB₁．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
且BB₁∩BC=B，
∴AC⊥平面ECBB₁．
∴四棱锥的体积为．
∵E是棱CC₁的中点，
∴，
∴．
∴；
(Ⅲ)CF∥平面AEB₁．现证明如下：
取AB₁的中点G，连接EG，FG．
∵F、G分别是棱AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，且BB₁．
又∵EC∥BB₁，且，
∴FG∥EC，且FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
又∵CF⊄平面AEB₁，EG⊂平面AEB₁，
∴CF∥平面AEB₁．

【点评】本题综合考查了空间中的垂直与平行关系，如(1)由线面垂直，得线线垂直；(2)说明AC是高时，证线面垂直，要先证线线垂直；(3)中证明线面平行时，需先证线线平行．所以理清空间中的垂直与平行关系，是解答本题的关键．