如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=6，E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．（1）证明：AC⊥BF；（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F-ACD的体积．

Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA=√(6)，
E为BC的中点，F是侧棱PD上的一动点．

（1）证明：AC⊥BF；
（2）当直线PE∥平面ACF时，求三棱锥F-ACD的体积．

Answer 1

（1）连接BD，设AC∩BD=0，连接PO，

则PO⊥面ABCD，
∴AC⊥PO，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，BD∩OP=O
∴AC⊥面PBD，∴AC⊥BF，
（2）连接DE交AC于G点，连接FG，
∵PE∥平面ACF，∴PE∥FG
∴(DG)/(DE)=(DF)/(DP)，
又CE=(1)/(2)BC=(1)/(2)AD，BC∥AD
∴(EC)/(AD)=(GE)/(DG)=(1)/(2)，∴(DG)/(DE)=(2)/(3)，
过F作FH⊥DB垂足为H则FH∥OP
∴(FH)/(OP)=(DF)/(DP)=(2)/(3)，
∴FH=(2)/(3)OP=(4)/(3)
∴v_F-ACD=(1)/(3)S_△ACD•FH=(1)/(3)×(1)/(2)×22×(4)/(3)=(8)/(9)．