如图,在Rt△ABC中,∠ACB=50°,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E求证：（1）△AED∽△CBM;（2）AE*CM=AC*CD

Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=50°,CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E
求证：（1）△AED∽△CBM;（2）AE*CM=AC*CD

Answer 1

1.
因为 ∠ACB = ∠CDB = 90
所以 ∠A = 90-∠ACD = (∠ACD+∠DCB)-∠ACD = ∠DCB
即 ∠A = ∠DCB (1)
又因为 BM⊥DH,所以 ∠CBM + ∠BKH = 90.
另一方面,∠E + ∠EKC = 90,而 ∠EKC 与 ∠BKH 是对顶角,它们相等,所以必有 ∠CBM = ∠E (2)
综合(1)(2)两条,△AED 与 △CBM 中有两组角对应相等,所以 △AED∽△CBM.
2.
由1题,△AED∽△CBM,所以 AE/BC = AD/CM,即 AE*CM = BC*AD.
因此只要证明 AC*CD = BC*AD,即 AC/BC = AD/CD (3)
因为 △ADC 与 △ACB 均为直角三角形,且 ∠A=∠A,所以 △ADC∽△ACB,因此由对应边成比例：AD/CD = AC/BC,即(3)式成立,因此 AE*CM = AC*CD.