已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC交线段AE于F点．（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你

Question

已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC 交线段AE于F点．
（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；
（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．

Answer 1

（1）证明：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
在△ABE和△DGA中

BE=GA

∠GAD=∠BEA

AE=AD

，
∴△ABE≌△DGA，
∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，
∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，
∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，
∴∠GDF=∠GFD，
∴GF=GD=AB=CD，
∵GF=AF+AG=AF+BE，
∴CD=AF+BE；

（2）bCD=aAF+bBE
理由是：延长EA到G，使得(BE)/(AG)=(a)/(b)，连接DG，
即AG=(b)/(a)BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴∠AEB=∠DAG=90°，
∴∠DAG=90°，
即∠AEB=∠GAD=90°，
∵(AE)/(AD)=(BE)/(AG)=(a)/(b)，
∴△ABE∽△DGA，
∴∠1=∠2，(AB)/(DG)=(a)/(b)，
∴∠GFD=90°-∠3，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．
∴∠GDF=∠GFD，
∴DG=GF，
∵(AB)/(DG)=(a)/(b)，AB=CD（已证），
∴bCD=aDG=a（(b)/(a)BE+AF），
即 bCD=aAF+bBE．