△ABD△BCE都是等边三角形,且ABC三点共线,AE与BD交于M,AE与CD交于N,AE与CD交于G,求∠AGC的大小.（2）若A、B、C三点不共线,其余条件不变,仍求∠AGC的度数

Question

△ABD△BCE都是等边三角形,且ABC三点共线,AE与BD交于M,AE与CD交于N,AE与CD交于G,求∠AGC的大小.
（2）若A、B、C三点不共线,其余条件不变,仍求∠AGC的度数

Answer 1

第一问：ABC三点在同一直线上,三角形ABC和三角形BCE都是等边三角形,AE交BD于点M,CD交BE于点N
求证：三角形MNB是等边三角形
1/AB+1/BD＝1/MN
分析：由已知可得∠1=∠2=60°,于是 ∠3=60°；要证△BMN 是等边三角形,只需证 BM=BN 即可；要证 BM=BN,只需证
△ABM≌△DBN 即可.
证明：∵AB=BD=DA、BC=CE=EB（已知）
∴ ∠1=∠2=60°（等边三角形的每一个角都是60° ）
∴∠3=180°-（∠1+∠2）=60°（平角定义）
在△ABE 与△DBC 中,
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴∠4=∠5（全等三角形对应角相等）
在△ABM 与△DBN 中,
∴△ABM≌△DBN（ASA）
∴BM=BN（全等三角形对应边相等）
∴△BMN 是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
第二问：
第二问,我按上面的解答如下：
∵∠DBE=∠EBC
∴BE是∠DBC的内角平分线
∴\x0f=\x0f
∵\x0f=\x0f
∴\x0f=\x0f=\x0f=1+\x0f=1+\x0f
即\x0f=1+\x0f
两边都除以BC,则\x0f=\x0f+\x0f
即1/AB+1/BC＝1/MN