（2014•蚌埠二模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，D为C1B的中点，P为AB边上的动点．（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

Question

（2014•蚌埠二模）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

Answer 1

（I）连接DP、AC₁，
∵△ABC₁中，P、D分别为AB、BC₁中点
∴DP∥AC₁，
∵AC₁⊆平面ACC₁A₁，DP⊈平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁
（II）由AP=3PB，得PB=(1)/(4)AB=(1)/(2)
过点D作DE⊥BC于E，则DE∥CC₁且DE=(1)/(2)CC₁
又∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP
∵CC₁=3，∴DE=(3)/(2)
∵S_△BCP=(1)/(2)×2×(1)/(2)×sin60°=(√(3))/(4)
∴三棱锥B-CDP的体积v=(1)/(3)×(√(3))/(4)×(3)/(2)=(√(3))/(8)