如图,在体积为根号三的正三棱锥A-BCD中,BD长为二倍根号三,E为棱BC的中点,求：（1）异面直线AE与CD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（2）正三棱锥A-BCD的表面积.

Question

如图,在体积为根号三的正三棱锥A-BCD中,BD长为二倍根号三,E为棱BC的中点,求：（1）异面直线AE与CD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（2）正三棱锥A-BCD的表面积.

Answer 1

(1)在正三棱锥A-BCD中,作AO⊥底面BCD于O,连AO,
BD=2√3,
∴S△BCD=(√3/4)(2√3)^2=3√3,
∴正三棱锥A-BCD的体积=(1/3)*3√3*AO=√3,
∴AO=1.
BO=BD/√3=2,
∴AB=√(AO^2+BO^2)=√5,
E为棱BC的中点,
∴AE⊥BC,BE=BD/2=√3,
∴AE=√(AB^2-BE^2)=√2,
取BD的中点F,连EF,则EF∥=CD/2=√3,AF=AE=√2,
∠AEF是AE与CD所成的角,
cos∠AEF=EF/(2AE)=√6/4,
∴∠AEF=arccos(√6/4).
(2)正三棱锥A-BCD的侧面积=（3/2）3√3*√2=（9/2）√6,
∴正三棱锥A-BCD的表面积=(9/2)√6+3√3.