在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA垂直于平面ABCD,PA=AB,M,N分别为P

Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA垂直于平面ABCD,PA=AB,M,N分别为P

Answer 1

(1)作MQ⊥AB于Q,连NQ.
PA⊥底面ABCD,PA=AB,
∴MQ∥PA,∠PBA=∠APB=45°,
ABCD是正方形,
∴∠BAC=45°,
PM=AN,
∴AQ=PMsin45°=ANsin45°=ANcos45°,
∴NQ⊥AB,
∴NQ∥AD,
∴平面MNQ∥平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)设AQ=NQ=x,则BQ=MQ=1-x,MQ⊥NQ,
∴MN^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=2(x-1/2)^2+1/2,
当x=1/2,即Q是AB中点时MN最短.
△AMN,△BMN都是边长为1/√2的等边三角形,取MN中点R,连AR,BR,
则AR⊥MN,BR⊥MN,
∴∠ARB是二面角A-MN-B的平面角,
AR=BR=√6/4,
由余弦定理,cosARB=(3/4-1)/(3/4)=-1/3,为所求.