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三角形ABC中,E、F分别在边AB、AC上,且角ABF等于角ACE,BF,CE交于M,过M做MP垂直AB于P,MQ垂直AC于Q,D是BC边中点,连接DP,DQ,求证DP=DQ
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三角形ABC中,E、F分别在边AB、AC上,且角ABF等于角ACE,BF,CE交于M,过M做MP垂直AB于P,MQ垂直AC于Q,D是BC边中点,连接DP,DQ,求证DP=DQ
▼优质解答
答案和解析
延长AD至A',使AD= A'D, 连接A'B, A'C.
在A'B上取点Q'使AQ'=AQ
在A'C上取点P'使AP'=AP
整个图形关于D点中心对称,
容易证明PQ'=P'Q, PQ=P'Q'
所以四边形PQP'Q'是平行四边形
考虑三角形BPQ'和MPQ
角PMQ=角PBQ'
BP/BQ'=BP/CQ = PM/QM
所以三角形BPQ'和MPQ相似
角Q'PQ=角MPB = 90 度
四边形PQP'Q'是矩形
对角线PQ'和P'Q交于D,相等且互相平分
DP=DQ
在A'B上取点Q'使AQ'=AQ
在A'C上取点P'使AP'=AP
整个图形关于D点中心对称,
容易证明PQ'=P'Q, PQ=P'Q'
所以四边形PQP'Q'是平行四边形
考虑三角形BPQ'和MPQ
角PMQ=角PBQ'
BP/BQ'=BP/CQ = PM/QM
所以三角形BPQ'和MPQ相似
角Q'PQ=角MPB = 90 度
四边形PQP'Q'是矩形
对角线PQ'和P'Q交于D,相等且互相平分
DP=DQ
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