在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1（2）求该多面体的体积．

Question

在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁
（2）求该多面体的体积．

Answer 1

（1）证明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴BB₁⊥AD
∵四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC
又BB₁，BC⊂平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BCC₁B₁
（2）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V_棱柱=S_△ABC×AA₁=(1)/(2)×2×2×(√(3))/(2)×2=2√(3)；
∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴四棱锥D-B₁C₁CB的高为(1)/(2)AD
∴四棱锥D-B₁C₁CB的体积为V_棱锥=(1)/(3)×2×2×√(3)=(4)/(3)√(3)
∴该多面体的体积V=V_棱锥+V_棱柱=(10)/(3)√(3)．