在三角形ABC中角ABC的对边分别为abc已知cosA=4/5,b=5c若三角形ABC的面积S=3/2sinBsinC求a的值第一问求sinC的值第二问求sin（2A+C）的值第三问若三角形ABC的面积S=3/2sinBsinC求a的值

Question

在三角形ABC中角ABC的对边分别为abc已知cosA=4/5,b=5c若三角形ABC的面积S=3/2sinBsinC求a的值
第一问求sinC的值
第二问求sin（2A+C）的值
第三问若三角形ABC的面积S=3/2sinBsinC求a的值

Answer 1

1、由余弦定理得：a²=b²＋c²－2bccosA,
∴将条件b=5c,cosA=4／5代入得：a=3√2c,
∴再由余弦定理得：b²=a²＋c²－2accosB,
∴﹙5c﹚²=﹙3√2c﹚²＋c²－2accosB,
解得：cosB=－√2／2,∴∠B=135°,∴sinB=√2／2,
∴由cosA=4／5,得：sinA=3／5,
又由正弦定理得：a／sinA=c／sinC,
∴3√2c／﹙3／5﹚=c／sinC,解得：
sinC=√2／5,∴cosC=√23／5.
2、由sin﹙2A＋C﹚=sin2AcosC－cos2AsinC
=2sinAcosAcosC－﹙2cos²C－1﹚sinC
=2×﹙3／5﹚×﹙4／5﹚×﹙√23／5﹚－[﹙√23／5﹚²－1]×√2／5
=﹙6√23＋2√2﹚／125.
3、由△面积公式S=½absinC=﹙3／2﹚sinBsinC,代入：
½×3√2c×5c=﹙3／2﹚×﹙√2／2﹚,
解得：c=1／√10,
∴a=3／√5