（2014•徐州三模）已知函数f（x）=1ex−ax（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是（0，1e）（0，1e）．

Question

（2014•徐州三模）已知函数f（x）=(1)/(ex)−(a)/(x)（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是

（0，(1)/(e)）

（0，(1)/(e)）

．

Answer 1

当a=0时，f（x）=(1)/(ex)−(a)/(x)=(1)/(ex)＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，
当a＜0时，f（x）=(1)/(ex)−(a)/(x)＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，
当a＞0时，由f（x）≥0得(1)/(ex)≥(a)/(x)，
当x＜0，不等式成立，
当x＞0时，不等式等价为a≤(x)/(ex)，
设g（x）=(x)/(ex)，
则g′(x)＝(ex−xex)/((ex)2)＝(1−x)/(ex)，
当x＞1时，g′（x）＜0，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=(1)/(e)，
∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，
则必有a＜(1)/(e)，
即0＜a＜(1)/(e)，
故答案为：（0，(1)/(e)）