设函数f（x）=tanx-8sinx，其中x∈(−π2，π2)．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对∀x1∈[0，π3]，∀x2∈[0，π3]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=tanx-8sinx，其中x∈(−(π)/(2)，(π)/(2))．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对∀x1∈[0，(π)/(3)]，∀x2∈[0，(π)/(3)]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=tanx-8sinx，得f′(x)＝(1)/(cos2x)−8cosx＝(1−8cos3x)/(cos2x)＞0，
即 cosx＜(1)/(2)，其中x∈(−(π)/(2)，(π)/(2))，解得，x∈(−(π)/(2)，−(π)/(3))∪((π)/(3)，(π)/(2))，
所以，函数f（x）的单调递增区间是：(−(π)/(2)，−(π)/(3))，((π)/(3)，(π)/(2))，递减区间是(−(π)/(3)，(π)/(3))．
（2）若对∀x1∈[0，(π)/(3)]，∀x2∈[0，(π)/(3)]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，
只需|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a．
由（1）得 f（x）在区间 (0，(π)/(3))上单调递减，
所以，当x1∈[0，(π)/(3)]时，-3√(3)≤f（x₁）≤0，
同理，-3√(3)≤f（x₂）≤0，
所以，-3√(3)≤f（x₁）-f（x₂）≤