假设p(x)为F[x]中一个次数>=1的多项式,如果对于F[x]中任意多项式f(x)都有p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.证明：p(x)是数域F上的不可约多项式.

Question

假设p(x)为F[x]中一个次数>=1的多项式,如果对于F[x]中任意多项式f(x)都有p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.
证明：p(x)是数域F上的不可约多项式.

Answer 1

设q(x)∈F[x]是p(x)的因式.
由条件,要么成立(p(x),q(x)) = 1,要么成立p(x) | q(x).
若(p(x),q(x)) = 1,由q(x)是p(x)和q(x)的公因式,有q(x) | 1,q(x)为常数.
若p(x) | q(x),由q(x) | p(x),二者相差非零常数倍(相伴).
因此p(x)在F[x]中只有平凡因式(相伴于1或p(x)本身),即p(x)不可约.