证明：数域F上的一个n次多项式f（x）能被它的导数整除的充要条件是f（x）=a（x-b）n，（其中a，b是F中的数）．

Question

证明：数域F上的一个n次多项式f（x）能被它的导数整除的充要条件是f（x）=a（x-b）ⁿ，（其中a，b是F中的数）．

Answer 1

证明：充分性   设数域F上的一个n次多项式f（x）=a（x-b）ⁿ，则
f′（x）=na（x-b）^n-1，显然f′（x）|f（x）
必要性  对f（x）作典型分解，f(x)=ap1m1(x)p2m2(x)…prmr(x)，其中p_i（x）都是不可约因式
则f′(x)=p1m1-1(x)…prmr-1(x)φ(x)，其中φ（x）与p_i（x）（i=1，2，…，r）互素，
由f′（x）|f（x），知φ（x）=c（常数）
但∂f（x）=∂f′（x）+1
故r=1，且∂p₁（x）=n
因此，f（x）=a（x-b）ⁿ．