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如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°,操作1将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于
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如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°,
【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.
在旋转过程中,如图2,当
=1时,EP与EQ满足怎样的数量关系?并给出证明.
【操作2】在旋转过程中,如图3,当
=2时EP与EQ满足怎样的数量关系?,并说明理由.
【总结操作】根据你以上的探究结果,试写出
=m当时,EP与EQ满足的数量关系是什么?其中m的取值范围是什么?(直接写出结论,不必证明)m.

【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q.
在旋转过程中,如图2,当
CE |
EA |
【操作2】在旋转过程中,如图3,当
CE |
EA |
【总结操作】根据你以上的探究结果,试写出
CE |
EA |

▼优质解答
答案和解析
(操作1)EP=EQ,
证明:连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得:BE=CE,∠PBE=∠C=45°,
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ,
在△BEP和△CEQ中
,
∴△BEP≌△CEQ(ASA),
∴EP=EQ;
如图2,EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2,
理由是:作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,
∴∠EMP=∠ENC,
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,
∴∠MEP=∠NEF,
∴△MEP∽△NEQ,
∴EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2;
如图3,过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,
∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°,
∴∠EPB+∠EQB=180°,
又∵∠EPB+∠MPE=180°,
∴∠MPE=∠EQN,
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,
∴
=
,
Rt△AME∽Rt△ENC,
∴
=m=
,
∴
=1:m=
,
EP与EQ满足的数量关系式1:m,即EQ=mEP,
∴0<m≤2+
,(因为当m>2+
时,EF和BC变成不相交).

证明:连接BE,根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质,得:BE=CE,∠PBE=∠C=45°,
∵∠BEC=∠FED=90°
∴∠BEP=∠CEQ,
在△BEP和△CEQ中
|
∴△BEP≌△CEQ(ASA),
∴EP=EQ;
如图2,EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2,
理由是:作EM⊥AB,EN⊥BC于M,N,
∴∠EMP=∠ENC,
∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°,
∴∠MEP=∠NEF,
∴△MEP∽△NEQ,
∴EP:EQ=EM:EN=AE:CE=1:2;
如图3,过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N,
∵在四边形PEQB中,∠B=∠PEQ=90°,
∴∠EPB+∠EQB=180°,
又∵∠EPB+∠MPE=180°,
∴∠MPE=∠EQN,
∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,
∴
EP |
EQ |
ME |
EN |
Rt△AME∽Rt△ENC,
∴
CE |
EA |
EN |
ME |
∴
EP |
EQ |
AE |
CE |
EP与EQ满足的数量关系式1:m,即EQ=mEP,
∴0<m≤2+
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