制造一个容积为π/2立方米的无盖圆柱行桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,做侧面的金属板的价格为每平方米20元,当圆柱形桶的底面半径为多少米,高多少米是,所使用的材料成本最

Question

制造一个容积为π/2立方米的无盖圆柱行桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,做侧面的金属板的价格为每平方米20元,当圆柱形桶的底面半径为多少米,高多少米是,所使用的材料成本最低

Answer 1

设圆柱的底面半径为x米,高为h米
那么圆柱形桶的容积
πx²h=π/2 ,h=1/(2x²)
∴圆柱桶的侧面积为2πx*h=π/x
底面积 为πx²
∴造价y=30πx²+20π/x=10π(3x²+2/x)
3x²+2/x=3x²+1/x+1/x≥3³√(3x²*1/x²)=3³√3
当且仅当 3x²=1/x,x³=1/3,x=1/³√3=(³√9)/3,
h=1/(2x²)=（³√3)/2时,取等号
即半径为=(³√9)/3米,高为（³√3)/2米时,
所使用的材料成本最低