如图，在棱长为1的正方体AC1中，E、F分别为A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：（2）求平面ACC1与平面BFC1所成的锐二面角：（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且

Question

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角：
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范围．

Answer 1

（1）以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A（1，0，0），E（(1)/(2)，0，1），B（1，1，0），F（1，(1)/(2)，1）．
∴

AF

=（0，(1)/(2)，1），

BE

=（-(1)/(2)，-1，1），
∴cos＜

AF

，

BE

＞=((1)/(2))/(√((1)/(4)+1)×√((1)/(4)+1+1))=(2√(5))/(15)；
（2）平面ACC₁的一个法向量为

DB

=(1，1，0)
设平面BFC₁的法向量为

n

=(x，y，z)
由

n

•

BF

=0

n

•

BC

=0

，可得

-(1)/(2)y+z=0

-x+z=0

，
∴

x=z

y=2z

，可取z=1，则

n

=(1，2，1)
∴cos＜

DB

，

n

＞=(DB•n)/(|DB||n|)=(1+2)/(√(2)×√(6))=(√(3))/(2)
∵＜

DB

，

n

＞为锐角
∴所求的锐二面角为(π)/(6)；
（3）设P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），则

EP

=(x-(1)/(2)，y，-1)
由

EP

•

n

=0得(x-(1)/(2))+2y-1=0，即x=-2y+(3)/(2)，
∵0≤x≤1，∴0≤-2y+(3)/(2)≤1，∴(1)/(4)≤y≤(3)/(4)
∵

EP

=(x-(1)/(2)，y，-1)
∴|

EP

|=√(5y2-4y+2)=√(5(y-(2)/(5))2+(6)/(5))
∵(1)/(4)≤y≤(3)/(4)，∴当y=(2)/(5)时，|

EP

|min=(√(30))/(5)；当y=(3)/(4)时，|

EP

|max=(√(29))/(4)，
故EP的取值范围为[(√(30))/(5)，(√(29))/(4)]．