如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1中点（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：AB1⊥BF；（3）棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP,若存在,确定点P位置；若不存在,说明理由．

Question

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1中点
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：AB1⊥BF；
（3）棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP,若存在,确定点P位置；若不存在,说明理由．

Answer 1

1、取AD中点M,连结FM、BM,交AE于N,
在底面ABCD中,RT△ABM和RT△ADE,
∵AD=AB,
〈BAM=〈ADE=90°,
AM=DE=AB/2,
∴RT△ABM≌RT△DAE,
∴〈DAE=〈ABM,
∵〈MAN+〈BAN=90°,
〈ABN+〈BAN=90°,
∴〈ANB=90°,
∴AE⊥BM,
∵FM//AA1,
AA1⊥平面ABCD,
∴FM⊥平面ABCD,
∵AE∈平面ABCD,
∴FM⊥AE,
∵FM∩BM=M,
∴AE⊥平面FBM,
∵BF∈平面BMF,
∴AE⊥BF.
2、连结A1B,
∵四边形ABB1A1是正方形,
∴A1B⊥AB1,
∵A1F⊥平面ABB1A1,
AB1∈平面ABB1A1,
∴A1F⊥AB1,
∵A1F∩A1B=A1,
∴AB1⊥平面A1BF,
∵BF∈平面A1BF,
∴AB1⊥BF,
3、取CC1中点P,连结C1D,
∵EP是△CDC1的中位线,
∴EP//C1D,
∵B1C1//=AD,
∴四边形B1C1DA是平行四边形,
∴C1D//AB1,
∴PE//AB1,
由1、2所述AE⊥BF,AB1⊥BF,
∴PE⊥BF,
∵AE∩PE=E,
∴BF⊥平面AEP.