若a＞0，b＞0，且1a+1b=ab．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

Question

若a＞0，b＞0，且(1)/(a)+(1)/(b)=√(ab)．
（Ⅰ）求a³+b³的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且(1)/(a)+(1)/(b)=√(ab)，
∴√(ab)=(1)/(a)+(1)/(b)≥2√((1)/(ab))，
∴ab≥2，
当且仅当a=b=√(2)时取等号．
∵a³+b³ ≥2√((ab)3)≥2√(23)=4√(2)，当且仅当a=b=√(2)时取等号，
∴a³+b³的最小值为4√(2)．
（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2√(2a•3b)=2√(6ab)≥4√(3)＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．