已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，给出下列命题：（1）f（2）=0；（2）直线x=-4是函数y=f

Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立．当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有(f(x1)−f(x2))/(x1−x2)＜0，给出下列命题：
（1）f（2）=0；　　　
（2）直线x=-4是函数y=f（x）图象的一条对称轴；
（3）函数y=f（x）在[-4，4]上有四个零点；　
（4）f（2012）=f（0）
其中所有正确命题的序号为______．

Answer 1

∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
当x=-2，可得f（-2）=0，
又∵函数y=f（x）是R上的偶函数
∴f（-2）=f（2）=0，
又由当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有(f(x1)−f(x2))/(x1−x2)＜0，
∴函数在区间[0，2]单调递减
故函数f（x）的简图如下图所示：

由图可知：①正确，②正确，③错误，④正确
故答案：①②④．