设函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）,且在闭区间[0,7]上只有f（3）=f（1）=0.1)试判断函数f（x）的奇偶性；2）试求f（x）=0在闭区间[-2011,2011]上根的个数,并证明.

Question

设函数f（x）在R上满足f（2-x）=f（2+x）,f（7-x）=f（7+x）,且在闭区间[0,7]上只有f（3）=f（1）=0.
1)试判断函数f（x）的奇偶性；2）试求f（x）=0在闭区间[-2011,2011]上根的个数,并证明.

Answer 1

(1）非奇非偶；假设偶f(-1)=f(1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)=0矛盾；假设奇f(0)=0矛盾.
(2)以10为周期：f(x)=f(2+x-2)=f(4-x)=f(7-x-3)=f(7+x+3)=f(x+10);可证一个周期内仅有两个根：不妨考虑[0,10]假设有多余两个,则必在(7,10]内,设为x,f(x)=0=f(7+(x-7))=f(7-(x-7))=f(14-x)=0,4=