第二道综合题已知椭圆C：(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)的离心率为二分之一根号二,短轴端点到焦点的距离为2（1）求椭圆方程（2）过左焦点F作椭圆的弦MN,问在x轴上是否存在一点P,使得PM和PN的内

Question

第二道综合题
已知椭圆C：(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)
的离心率为二分之一根号二,短轴端点到焦点的距离为2
（1）求椭圆方程
（2）过左焦点F作椭圆的弦MN,问在x轴上是否存在一点P,使得PM和PN的内积为定值,试说明理由.
恳请会的人赐教，

Answer 1

(1) 由离心率为二分之一根号二得到；
c/a=二分之一根号二 （1）
由短轴端点到焦点的距离为2 得到：
c^2+b^2=4 (2)
由椭圆性质得到：
a^2=b^2+c^2 (3)
解（1）（2）（3）得；
a ＝2 b ＝根号二 c＝根号二
所以椭圆方程 为：
(x^2)/4+(y^2)/2=1
(2)假设存在这样的p点；设坐标为（x1,0）
假设这个弦垂直于x轴.此时得到M(负根号二,1)
N( 负根号二,－1),则PM 向量＝（负根号二－x1,－1） PN向量＝（负根号二－x1,1）
此时内积为：x1^2-1+2倍根号二x1
假设不垂直时,设直线方程为y＝k（x＋根号二）联立（x^2)/4+(y^2)/2=1 得到：
((1＋2k^2)/4)x^2+根号二kx+k^2-1=0;
设M（x2,y2) N(x3.y3)
所以x2＋x3＝(4根号二k/(1+2k^2) (3)
x2x3＝(4(k^2-1))/(1+2k^2) (4)
PM 向量=(x2-x1,-y2)
PN向量=(x3-x1,-y3)内积为：x2x3-x1(x2+x3)+x1^2＋y2y3
再由（3）（4）得到：
内积＝(4(k^2-1))/(1+2k^2)－x1(4根号二k/(1+2k^2)＋x1^2+y2y3=
这个计算复杂了,你照我这个思路做下去,就是要使内积为定值,就是上面两个内积是相等的且定值即可.
解析几何计算是相当的复杂的,要细心的,我在电脑旁就没有详细的算出了.
祝高考顺利了