在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形

Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

Answer 1

（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=(1)/(2)（180°-∠A）=90°-(1)/(2)α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-(1)/(2)α；
（2）△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-(1)/(2)α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中

AB＝AC

AD＝AD

BD＝CD

∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=(1)/(2)∠BAC=(1)/(2)α，
∵∠BCE=150°，
∴∠BEC=180°-（30°-(1)/(2)α）-150°=(1)/(2)α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中

∠BEC＝∠BAD

∠EBC＝∠ABD

BC＝BD

∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形；
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150°，
∴∠EBC=(1)/(2)（180°-150°）=15°，
∵∠EBC=30°-(1)/(2)α=15°，
∴α=30°．