已知f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

Answer 1

∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
f（2×4）=f（2）+f（4）=3，由f（x）+f（x-2）＜3，又f（x）的定义域为（0，+∞），得

f[x(x−2)]＜f(8)

x＞0

x−2＞0

，又在其上为增函数所以

x(x−2)＜8

x＞0

x−2＞0

解得，2＜x＜4．
所以不等式f（x）+f（x-2）＜3的解集为{x|2＜x＜4}．