有这样的正整数n，使得8n-7、18n-35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．

Question

有这样的正整数n，使得8n-7、18n-35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=______．

Answer 1

设8n-7=a²…①，18n-35=b²…②，
①×9得，72n-63=9a²…③，②×4=72n-140=4b²…④式，③代入④式，得到 9a²-4b²=77，
即（3a+2b）（3a-2b）=77，
又77=1×77=7×11，
即

3a+2b＝77

3a−2b＝1

或

3a+2b＝11

3a−2b＝7

，
解得a=13或3，
分别把a=13或3，代入①得，
8n-7=169，或8n-7=9，
8n=176，或8n=25
解得：n=22，或n=2，
所以n=22或n=22．
故答案为：22或2．