求所有正整数对(m,n),使得m^2-4n和n^2-4m均是完全平方数

Question

求所有正整数对(m,n),使得m^2-4n和n^2-4m均是完全平方数

Answer 1

因为m,n为正整数
所以m^2-4n0)
-4n=-2ma+a^2
即n=a(2m-a)/4
所以n^2-4m=a^2(2m-a)^2/4-4m
因为n是正整数
所以a(2m-a)能被4整除
故a为偶数
不妨设a=2b,(b>0)
则n^2-4m=(b(m-b))^2-4m=c^2
b^2m^2-(2b^3+4)m+b^4-c^2=0
假设上述一元二次方程有实数根m1、m2
则m1+m2=2b+4/b^2
m1*m2=b^2-c^2/b^2
因为m为正整数
所以4/b^2为正整数
故b=1或2
b=1时,m1+m2=6,m1*m2=1-c^2
因为c≥0
所以m1*m2=1-c^2≤0
故无解
b=2时,m1+m2=5,m1*m2=4-c^2/4
因为c≥0
所以c=0或2
当c=0时,m1+m2=5,m1*m2=4
解得m1=1,m2=4
因为n=b(m-b)>0
所以m>b
所以m=4,n=4
当c=2时,m1+m2=5,m1*m2=0
所以m1=0,m2=5
因为n=b(m-b)>0
所以m=5,n=6
综上,(m,n)为(4,4)或(5,6)