设对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮L[y（f（x）+ex）+12y2]dx+[f′（x）-ex+xy]dy=0，其中f（x）具有二阶导数，且曲线y=f（x）在x=0处与直线y=2x相切，求f（x）．

Question

设对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮_L[y（f（x）+e^x）+(1)/(2)y2]dx+[f′（x）-e^x+xy]dy=0，
其中f（x）具有二阶导数，且曲线y=f（x）在x=0处与直线y=2x相切，求f（x）．

Answer 1

设P(x，y)＝y(f(x)+ex)+(1)/(2)y2，Q（x，y）=f′（x）-e^x+xy
由对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮_L[y（f（x）+e^x）+(1)/(2)y2]dx+[f′（x）-e^x+xy]dy=0，知
(∂Q)/(∂x)＝(∂P)/(∂y)，即f″（x）-e^x+y=f（x）+e^x+y
∴f″（x）-f（x）=2e^x…（*）
这是二阶非齐次线性微分方程，其中特征方程为：r²-1=0
∴特征根为r_1，2=±1
∴对应的二阶齐次线性微分方程的通解为：C1e−x+C2ex，其中C₁、C₂为常数
∵函数2e^x是Pm(x)eλx型，其中P_m（x）=2，λ=1
∴可设特解为：y^*=bxe^x，其中b是待定的常数．
将其代入方程（*），解得b=1
∴y^*=xe^x
∴方程（*）的通解为
y＝f(x)＝C1e−x+C2ex+xex
又已知曲线y=f（x）在x=0处与直线y=2x相切
即曲线通过点（0，0），且y′|_（0，0）=2
∴

C1+C2＝0

−C1+C2+1＝2

∴解得
C1＝−(1)/(2)，C2＝(1)/(2)
∴f(x)＝−(1)/(2)e−x+(1)/(2)ex+xex．