如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分∠BAC；（2）若BC=6，sin∠BAC=35，求AC和CD的长．

Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D

（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC=(3)/(5)，求AC和CD的长．

Answer 1

（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC；
（2） 延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC=90°，BC⊥BE，
∵∠E=∠BAC，
∴sinE=sin∠BAC，
∴(BC)/(CE)=(3)/(5)，
∴CE=(5)/(3)BC=10，
∴BE=√(CE2-BC2)=8，OA=OE=(1)/(2)CE=5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴(OA)/(BE)=(OD)/(DE)，即(5)/(8)=(OD)/(5-OD)，
解得：OD=(25)/(13)，
∴CD=5+(25)/(13)=(90)/(13)，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH=(1)/(2)BE=4，CH=(1)/(2)BC=3，
∴AH=5+4=9，
在Rt△ACH中，AC=√(AH2+CH2)=√(92+32)=3√(10)．