若在点(x,y)的某一邻域内f(x,y)的偏导数存在且有界,证明f(x,y)在该点连续

Question

若在点(x,y)的某一邻域内f(x,y)的偏导数存在且有界,证明f(x,y)在该点连续

Answer 1

△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)+f(x+△x,y)-f(x,y)(下面用拉格朗日中值定理）
=f'y(x+△x,ξ1)△y+f'(ξ2,y)△x
由于偏导数存在且有界,当△x,△y趋于0时：
lim△z=lim[f'y(x+△x,ξ1)△y+f'(ξ2,y)△x]=0
f(x,y)在该点连续