求问前辈关于常数导数的问题首先对于常数C,其导数为0.但今天在看相关的推导时,突然发现一个近乎矛盾的问题.设函数f(x)=C,其在某点x0处的邻域内,有自变量变化量为Δx,函数变化量为Δy,由于f

Question

求问前辈关于常数导数的问题
首先对于常数C,其导数为0.但今天在看相关的推导时,突然发现一个近乎矛盾的问题.
设函数f(x)=C,其在某点x0处的邻域内,有自变量变化量为Δx,函数变化量为Δy,
由于f(x)是常数函数,所以不论x取何值,函数值都为C,因此,函数变化量为0
如此一来,f'(x)=lim(Δx→0)(0/Δx)=[lim(Δx→0)(1/Δx)]·0
问题恰恰就在这里,当Δx→0时,1/Δx的极限难道不是应该为∞吗?(即分母无限缩小,该数值无限增大)倘若如此的话,怎么能有[lim(Δx→0)(1/Δx)]·0=0,也就是∞×0=0呢?
同时因为lim(Δx→0)(1/Δx)=∞,那么lim(Δx→0)(Δy/Δx)=0,既不能从∞×0=0推导出,也不可能利用定理 —“有界函数与无穷小的积为无穷小,即0”,得出结论.

Answer 1

看到出你是真的认真思考了,不过你没注意到书上不同的地方“0”代表的含义,通常意义下“真正”的0乘任何数都等于0,而求极限时所说的∞×0型未定式其中的“0”是指无穷小量,而不是真正的0,.所以你的这个问题里1/Δx即无穷大乘的是个真正的0,而不是无穷小,所以这里的∞×0=0是成立的.