lim（a^n/n+b^n/n^2)^(1/n)（a>0,b>0)n->无穷()^(1/n)表示括号内式子根号开n次方={a当a>=b时}{b当a

Question

lim （a^n/n +b^n/n^2)^(1/n) （a>0,b>0)
n->无穷
( )^(1/n)表示括号内式子根号开n次方
={a 当a>=b时}
{b 当a

Answer 1

记Xn＝（a^n/n ＋ b^n/n^2)^(1/n)
（1）a≥b时
a^n/n ≤ a^n/n ＋ b^n/n^2 ≤ a^n/n ＋ a^n/n^2＝a^n×(n+1)/n^2≤a^n×2/n
所以,[a^n/n]^(1/n) ≤ Xn ≤ [a^n×2/n]^(1/n)
因为n→∞时,n^(1/n)→1,2^(1/n)→1,所以
[a^n/n]^(1/n)＝a×1/[n^(1/n)] → a
[a^n×2/n]^(1/n)＝a×(2/n)^(1/n)] → a
所以,Xn的极限是a
（2）a＜b时
b^n/n^2 ≤ a^n/n ＋ b^n/n^2 ≤ b^n/n ＋ b^n/n^2＝b^n×(n+1)/n^2≤b^n×2/n
所以,[b^n/n]^(1/n) ≤ Xn ≤ [b^n×2/n]^(1/n)
与（1）的推导类似,得Xn的极限是b
综上,当a≥b时,极限是a,当a＜b时,极限是b