证明：当0＜x＜π时，有sinx2＞xπ．

Question

证明：当0＜x＜π时，有sin(x)/(2)＞(x)/(π)．

Answer 1

令f(x)＝sin(x)/(2)−(x)/(π)，
则有：f′(x)＝(1)/(2)cos(x)/(2)−(1)/(π)．
f″(x)＝−(1)/(4)sin(x)/(2)，即在x∈（0，π），f''（x）＜0
则f'（x）在（0，π）内单调递减
而f′(0)＝(1)/(2)cos(0)/(2)−(1)/(π)＝(1)/(2)−(1)/(π)＝(π−2)/(2π)＞0，f′(π)＝(1)/(2)cos(π)/(2)−(1)/(π)＝−(1)/(π)＜0
根据函数连续性质，必有一x使得f'（x）=0．
假定f'（a）=0，f（a）=A，
又f（0）=0，f（π）=1-1=0，
根据函数单调性质，必有A＞0
且有

f(x)＞0，x∈(0，a)

f(a)＝A＞0

f(x)＞0，x∈(a，π)

即当0＜x＜π时，f（x）＞0．