已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D

Question

已知椭圆 的离心率为 ，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线 于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．

Answer 1

已知椭圆 的离心率为 ，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线 于A、B两点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值．

（Ⅰ） （Ⅱ）见解析

(1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,进而求出b，问题解决.
（II）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为
然后与抛物线方程联立，消去y转化为 ,
借助韦达定理证明 即可.
斜率不存在的情况要单独考虑.
(2) 设 、 ，直线 的方程为 ，代入 ，得 ．于是 ．
， ．可得 ．
再证明原点到直线 的距离 为定值
（Ⅰ）由 得 ，故 ． ………………………3分
所以，所求椭圆的标准方程为  ……………………………4分
（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为 ……………5分
代入抛物线方程整理得
设点A（ ）点B（ ），则 ， ………7分

所以  ……………………………………………9分
若直线斜率不存在，则A（4,4）B（4，-4），同样可得 …………10分
（2）设 、 ，直线 的方程为 ，代入 ，得 ．于是 ．从而 ， ．得 ．∴原点到直线 的距离 为定值…15分