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已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB；（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D
题目详情
| 已知椭圆   的离心率为 ，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线  于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB； （2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值． |
▼优质解答
答案和解析
| 已知椭圆   的离心率为 ，两焦点之间的距离为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线  于A、B两点，（1）求证：OA⊥OB； （2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明|OM|为定值． |
| （Ⅰ）  （Ⅱ）见解析 |
| (1)由2c=4,c/a=1/2,可求出a,进而求出b，问题解决. （II）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为  然后与抛物线方程联立，消去y转化为  ,借助韦达定理证明  即可.斜率不存在的情况要单独考虑. (2) 设  、 ，直线 的方程为 ，代入 ，得 ．于是 ． ， ．可得 ．再证明原点到直线 的距离 为定值（Ⅰ）由  得 ，故 ． ………………………3分所以，所求椭圆的标准方程为 ……………………………4分（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，可设直线方程为 ……………5分代入抛物线方程整理得 设点A（  ）点B（ ），则 ， ………7分 所以  ……………………………………………9分若直线斜率不存在，则A（4,4）B（4，-4），同样可得 …………10分（2）设 、 ，直线 的方程为 ，代入 ，得 ．于是 ．从而 ， ．得 ．∴原点到直线 的距离 为定值…15分 |
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