如图，设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2做直线l交椭圆于P，Q两点．若圆O：x2+y2=b2过F1，F2，且△PF1F2的周长为22+2．（Ⅰ）求椭圆C和圆O的方程；（Ⅱ）若M为圆O上任

Question

如图，设椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂做直线l交椭圆于P，Q两点．若圆O：x²+y²=b²过F₁，F₂，且△PF₁F₂的周长为2√(2)+2．

（Ⅰ）求椭圆C和圆O的方程；
（Ⅱ）若M为圆O上任意一点，设直线l的方程为4x-3y-4=0，求△MPQ面积S_△MPQ的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可得

2a+2c=2√(2)+2

c=b

a2=b2+c2

，
解得：b=c=1，a=√(2)，
∴椭圆C方程为：(x2)/(2)+y2=1；
圆O的方程：x²+y²=1；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
将直线l方程代入椭圆方程得：y₁+y₂=-(24)/(41)，y₁y₂=-(16)/(41)，
∴|PQ|=√(1+((3)/(4))2)•|y₁-y₂|=(50√(2))/(41)，
为使S_△MPQ最大，只需点M到直线l的距离最大，
最大距离等于圆心到直线l的距离与圆半径之和，即h=(4)/(5)+1=(9)/(5)，
∴（S_△MPQ）_max=(1)/(2)|PQ|•h=(45√(2))/(41)．