已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则a2|ON|2+b2|OM|2=．

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），圆O：x²+y²=b²，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则(a2)/(|ON|2)+(b2)/(|OM|2)=______．

Answer 1

设A（x_A，y_A ），B （x_B，y_B ），则切线PA、PB的方程分别为 x_A•x+y_A•y=b²，
x_B•x+y_B•y=b²．由于点P 是切线PA、PB的交点，
故点P的坐标满足切线PA的方程，也满足切线PB的方程．
故A，B 是x_P•x+y_P•y=b² 和圆x²+y²=b² 的交点，故点M（(b2)/(xP)，0），N（0，(b2)/(yP)）．
又 (xP2)/(a2)+(yP2)/(b2)＝1，
∴(a2)/(|ON|2)+(b2)/(|OM|2)=(a2yP2)/(b4)+(a2xP2)/(b4)=（(xP2)/(a2)+(yP2)/(b2)）•(a2)/(b2)=(a2)/(b2)，
故答案为：(a2)/(b2)．