直线l过点M（1，1），与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求：（1）直线l的方程．（2）求弦长AB．

Question

直线l过点M（1，1），与椭圆(x2)/(4)+(y2)/(3)=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求：
（1）直线l的方程．
（2）求弦长AB．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则(x12)/(4)+(y12)/(3)=1，①(x22)/(4)+(y22)/(3)=1②
①-②，得((x1-x2)(x1+x2))/(4)+((y1-y2)(y1+y2))/(3)=0．
又∵M为AB中点，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．
∴直线l的斜率为-(3)/(4)．
∴直线l的方程为y-1=-(3)/(4)（x-1），即3x+4y-7=0．
（2）3x+4y-7=0与椭圆(x2)/(4)+(y2)/(3)=1联立可得21x²-42x+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，x₁x₂=(1)/(21)，
∴|AB|=√(1+(9)/(16))•√(4-(4)/(21))=(5)/(21)√(105)．