已知直线l：y=x+1与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，(1)求证：OA⊥OB；(2)如果直线l向下平移1个单位得到直线m，试求椭圆截直线m所得线段的长度．

Question

已知直线l：y=x+1与椭圆相交于A，B两点，O为坐标原点，
(1)求证：OA⊥OB；
(2)如果直线l向下平移1个单位得到直线m，试求椭圆截直线m所得线段的长度．____

Answer 1

【分析】(1)由解得．由此能够证明OA⊥OB．
(2)直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，联立得到解得或，由此能求出截得的线段长．

(1)证明：直线l：y=x+1与椭圆3x²+y²=2相交于A，B两点，
得，
消去y得4x²+2x-1=0，
解得，
∴．
∴
∴，
∴OA⊥OB．
(2)直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，
联立得到，
解得或，
所以截得的线段长为2．

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．