圆锥曲线证明三角形PQR为等腰直角三角形椭圆方程为3x^2+4y^2=12(1).若P、Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l:x=1上,试证：x轴上存在定点R,对于所有满足条件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|(2).在(1)的

Question

圆锥曲线 证明三角形PQR为等腰直角三角形
椭圆方程为3x^2+4y^2=12
(1).若P、Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l:x=1上,试证：x轴上存在定点R,对于所有满足条件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|
(2).在(1)的条件下,三角形PQR能否为等腰直角三角形?证明你的结论.
ps:第一小题以解.R（1/4,0）
..

Answer 1

设P(x1,y1)、Q(x2,y2),而已求R(1/4,0).
三角形PQR首先已经是以PQ为底等腰三角形；
假设它还是等腰直角三角形,那么必有角PRQ为直角,即PR垂直于QR于R,
那么,必定有向量RP与向量RQ的数量积为零.
向量RP = (x1 - 1/4 , y1),向量RQ = (x2 - 1/4 , y2)
向量RP · 向量RQ = (x1 - 1/4)(x2 - 1/4) + y1y2 = x1x2 - 1/4*(x1+x2) - 1/16 + y1y2
由于T(1,a)是PQ中点,所以(x1+x2)/2 = 1,x1+x2=2
由椭圆方程得到：
x1^2 = 4 - 4y1^2/3
x2^2 = 4 - 4y2^2/3
所以：x1^2 + x2^2 = 8 - 4/3*(y1^2 + y2^2)
所以：
x1x2 = [(x1+x2)^2 - (x1^2 + x2^2)]/2 = [2^2 - (8 - 4/3*(y1^2 + y2^2))] / 2 = [4 - 8 + 4/3*(y1^2 + y2^2)] / 2 = 2/3*(y1^2 + y2^2) - 2
代入数量积,得到：
向量RP · 向量RQ = 2/3*(y1^2 + y2^2) - 2 - 1/4 * 2 - 1/16 + y1y2 = 2/3 * y1^2 + 2/3 * y2^2 + y1y2 - 41/16
把它看作关于y1的二次多项式.数量积要能够为0,就一定要存在有y2满足：
△1 = y2^2 - 4 * 2/3 * (2/3 * y2^2 - 41/16) = -7/9 * y2^2 + 41/6 ≥ 0
由于判别式开口向下,这里实际上也就是要求判别式有零点,所以必定要有：
△2 = 0 - 4 * (-7/9) * 41/6 = 41*14/27 ≥ 0
到此,假设成立,命题为真,即三角形PQR可以为等腰直角三角形.