在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=ccosA,c=2acosB,试判断三角形ABC的形状.

Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=ccosA,c=2acosB,试判断三角形ABC的形状.

Answer 1

1、由正弦定理及b＝ccosA、c＝2acosB得
sinB＝sinCcosA
sinC＝2sinAcosB
于是
sinC=sin(π-C)
=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB
即
sinAcosB-cosAsinB=0
sin(A-B)=0·········①
sinB=sin(π-B)
=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=sinCcosA
即
sinAcosC=0·······②
又0＜A、B、C＜π,由②得
C=π/2
且0＜A、B＜π/2,由①得
A-B=0
A=B
综上,△ABC为等腰直角△.
2、通过余弦定理把cosA、cosB用a、b、c表示出来化简即可同样结果.