已知a,b,c为实数,且方程(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0有实根,证明：a,b,c成等比数列,且公比为x.

Question

已知a,b,c为实数,且方程(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+b^2+c^2=0有实根,证明：a,b,c成等比数列,且公比为x.

Answer 1

方程的判别式=4b²（a+c）²-4（a²+b²）（b²+c²）=-4（b²-ac）²≥0
此时
b²-ac=0
即
b²=ac
所以a,b,c成等比数列
方程的判别式=0
方程有两等实根
将b²=ac代入的
a（a+c）x²-2b（a+c）x+c（a+c）=0
由于a+c≠0
化简得
ax²-2bx+c=0
将c=b²/a得
a²x²-2abx+b²=0
解得
ax=b
x=b/a 为公比
所以a,b,c成等比数列,公比为x