已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比为a的等比数列（很急!）已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈n*)1.当a=2时,求数列{bn}的前几项和Sn2.当数列{bn}中的每一项总小于

Question

已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比为a的等比数列（很急!）
已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈n*)
1.当a=2时,求数列{bn}的前几项和Sn
2.当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时,求a的取值范围

Answer 1

a(n) = a^n,n = 1,2,...
b(n) = a(n)lg[a(n)] = a^nlg[a^n] = na^nlg(a).n = 1,2,...
1,
a = 2时,
b(n) = n2^nlg2
S(n) = b(1) + b(2) + b(3) + ...+ b(n-1) + b(n)
= 2lg2 + 2*2^2lg2 + 3*2^3lg2 + ...+ (n-1)*2^(n-1)lg2 + n*2^nlg2
2S(n) = 1*2^2lg2 + 2*2^3lg2 + 3*2^4lg2 + ...+ (n-1)*2^nlg2 + n*2^(n+1)lg2
S(n) = 2S(n) - S(n) = n*2^(n+1)lg2 - 2lg2 - 2^2lg2 - 2^3lg2 - ...- 2^nlg2
= n*2^(n+1)lg2 - 2lg2[2^n - 1]/[2-1]
= n*2^(n+1)lg2 - 2^(n+1)lg2 + 2lg2
= (n-1)*2^(n+1)lg2 + 2lg2,n = 1,2,...
2,
0 < b(n+1) - b(n) = (n+1)a^(n+1)lg(a) - na^nlg(a) = a^nlg(a)[(n+1)a - 1],
lg(a)[a - 1/(n+1)] > 0
若a > 1,lg(a) > 0,a > 1 > 1/(n+1),满足要求.
若0 < a < 1.lg(a) < 0.要a < 1/(n+1)对所有的正整数n都成立,是不可能的.因为,令 m = [1/a]是小于等于1/a的离1/a最近的正整数.
则,m = 1/(n+1),与a < 1/(n+1)矛盾.
因此,
只能
a > 1.