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集合M={1,2…,2014},若X⊆M,X≠∅,ax为X中最大数与最小数的和(若集合中只有一个元素,则此元素既为最大数,又为最小数),那么,对M的所有非空子集X,全部ax的平均值为.
题目详情
集合M={1,2…,2014},若X⊆M,X≠∅,ax为X中最大数与最小数的和(若集合中只有一个元素,则此元素既为最大数,又为最小数),那么,对M的所有非空子集X,全部ax的平均值为______.
▼优质解答
答案和解析
对于M的任一非空子集X={n1,n2,n3,…},可找出它的对称集X′={2015-n1,2015-n2,2015-n3,…}.
例如:当X={1,2,4,6},则X′={2014,2013,2011,2009}
对于M的所有非空子集X和它的对称集X′,分成两种情况:
A)X=X′
B)X≠X′
设X的最大数与最小数分别为max,min
如果X=X′,则max+min=max+(2015-max)=2015
如果X≠X′,则X′的最大数与最小数分别为2015-min,2015-max,
X与X′中最大数与最小数之和的算术平均数=[(max+min)+(2015-min+2015-max)]÷2=2015
综上,所求的算术平均数也是2015
故答案为:2015
例如:当X={1,2,4,6},则X′={2014,2013,2011,2009}
对于M的所有非空子集X和它的对称集X′,分成两种情况:
A)X=X′
B)X≠X′
设X的最大数与最小数分别为max,min
如果X=X′,则max+min=max+(2015-max)=2015
如果X≠X′,则X′的最大数与最小数分别为2015-min,2015-max,
X与X′中最大数与最小数之和的算术平均数=[(max+min)+(2015-min+2015-max)]÷2=2015
综上,所求的算术平均数也是2015
故答案为:2015
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