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(2012•浦东新区一模)若X是一个非空集合,M是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X∈M、∅∈M;②对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,有A∪B∈M;③对于X的任意子集A、B,当A
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(2012•浦东新区一模)若X是一个非空集合,M是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:
①X∈M、∅∈M;
②对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,有A∪B∈M;
③对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,A∩B∈M;
则称M是集合X的一个“M-集合类”.
例如:M={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X={a,b,c}的一个“M-集合类”.已知集合X={a,b,c},则所有含{b,c}的“M-集合类”的个数为______.
①X∈M、∅∈M;
②对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,有A∪B∈M;
③对于X的任意子集A、B,当A∈M且B∈M时,A∩B∈M;
则称M是集合X的一个“M-集合类”.
例如:M={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X={a,b,c}的一个“M-集合类”.已知集合X={a,b,c},则所有含{b,c}的“M-集合类”的个数为______.
▼优质解答
答案和解析
解依题意知,M中至少含有这几个元素:∅,{b,c},{a,b,c},将它看成一个整体;
剩余的{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}共5个,{a,b}和{b}必须同时在M中,{a,c}和{c}必须同时在M中;
①{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加0个的集合为{∅,{b,c},{a,b,c}},一种
②{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加1个的集合为{∅,{a},{b,c},{a,b,c}},{∅、{b},{b,c},{a,b,c}},{∅、{c},{b,c},{a,b,c}},共三种
③{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加2个的集合共3种,
即{b}、{c};{c}、{a,c};{b}、{a,b}三种添加方式
④{a,b,ab},{a,c,ac},{b,c,ab},{b,c,ac}添加3个的集合共4种,
即{a,b,ab},{a,c,ac},{b,c,ab},{b,c,ac}
⑤{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加4个的集合共0种
⑥{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加5个的集合共1种
综上讨论知,共12种
故答案为12.
剩余的{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}共5个,{a,b}和{b}必须同时在M中,{a,c}和{c}必须同时在M中;
①{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加0个的集合为{∅,{b,c},{a,b,c}},一种
②{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加1个的集合为{∅,{a},{b,c},{a,b,c}},{∅、{b},{b,c},{a,b,c}},{∅、{c},{b,c},{a,b,c}},共三种
③{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加2个的集合共3种,
即{b}、{c};{c}、{a,c};{b}、{a,b}三种添加方式
④{a,b,ab},{a,c,ac},{b,c,ab},{b,c,ac}添加3个的集合共4种,
即{a,b,ab},{a,c,ac},{b,c,ab},{b,c,ac}
⑤{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加4个的集合共0种
⑥{a}、{b}、{c}、{a,c}、{a,b}添加5个的集合共1种
综上讨论知,共12种
故答案为12.
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