同济高等数学第六版关于反常积分的极限审敛法1定理如下：设函数f(x)在区间[a,+无穷)上连续,且f(x)≥0.如果存在常数p>1使得lim(x->正无穷)x^(p)f(x)存在,则反常积分f(x)dx|a至正无穷收敛；如果lim

Question

同济高等数学第六版 关于反常积分的极限审敛法1
定理如下：设函数f(x)在区间[a,+无穷)上连续,且f(x)≥0.如果存在常数p>1使得lim(x->正无穷)x^(p) f(x)存在,则反常积分f(x)dx|a至正无穷 收敛；如果lim(x->正无穷)xf(x)=d>,则反常积分……发散.
第一部分的证明（分号之前）,是说根据极限的定义,存在充分大的x1使得|x^pf(x)-c|

Answer 1

本问题证的是反常积分的敛散性问题,而积分究竟是收敛还是发散,取决于x-->+∞时的情形,对于x<0的部分对于本问题不产生任何影响,因此没必要考虑x<0时的情形.
如果要考虑x<0,本题可以这样写：
当a>=0时,直接按上面的方法证就行了；
当a<0时,将区间分为两部分(a,0)与(0,+∞),其中(a,0)这部分是定积分,不需要考虑,只考虑(0,+∞)部分,研究方法同上.
这样分完你就发现,其实没有必要考虑小于0的情况.因为本问题的重点在x-->+∞ 时,也就是大于0时.