设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为π2和π3，求该彗星与地

Question

设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和(4)/(3)m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为(π)/(2)和(π)/(3)，求该彗星与地球的最近距离．

Answer 1

建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（-c，0）处，
椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为(π)/(3)时，
由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=(π)/(3)（或∠xFA′=(π)/(3)）．
作AB⊥Ox于B，则|FB|=(1)/(2)|FA|=(2)/(3)m，
故由椭圆的第二定义可得
m=(c)/(a)（(a2)/(c)-c），①(4)/(3)m=(c)/(a)（(a2)/(c)-c+(2)/(3)m）．②
两式相减得(1)/(3)m=(c)/(a)•(2)/(3)m，∴a=2c．
代入①，得m=(1)/(2)（4c-c）=(3)/(2)c，
∴c=(2)/(3)m．∴a-c=c=(2)/(3)m．
答：彗星与地球的最近距离为(2)/(3)m万千米．